海通期货期权投资者教育专栏

场外期权市场灵活多变，尤其是奇异期权。奇异期权品种繁多，诸如二元期权、亚式期权、障碍期权、回溯期权等。往期我们介绍过一些较为主流的奇异期权，本期我们将介绍在海外比较流行的棘轮期权及其定价公式。

棘轮期权（Ratchet Option）属于分阶段期权（Cliquet Option）的一种，是指协定价格在交易之初确定，然后在事先约定的未来某日期，根据标的价格水平对协定价格进行调整的期权。棘轮期权最早被用在债券上，最初是由美国田纳西河谷当局于1998年6月推出的PARRs，初始利率为6.75%，30年期，5年后每年调整一次利率。每个阶段都可以提前锁定下一期收益，像棘轮一般不断向前滚动。

考虑一个三年期看涨的棘轮期权，标的资产是阿里巴巴[BABA]股票，执行价格在之后三年每年都会按照约定日期的价格重新设置。假设当下BABA的价格为S0=90美元，一年后BABA价格为S1=100美元，二年后S2=80美元，三年后S3=110美元。棘轮期权每年的收益为：第一年：MAX（S1-S0，0）=10美元；第二年：MAX（S2-S1，0）=0美元；第三年：MAX（S3-S2，0）=30美元。因此，一份看涨棘轮期权三年的收益为40美元。如果持有该股票三年不做任何交易，三年后回报收益仅有20美元。

棘轮期权执行价格每年都会根据标的资产价格水平重新设置，因此该标的资产上一年的收益会被锁定。这个收益特性与远期起点期权（Forward Starting Option）一致。也就是说，棘轮期权是一系列远期起点期权的组合。

远期起点期权也是以未来某个时点T时刻的标的价格作为执行价格，但只调整一次。也就是说当下阿里巴巴的股票为90美元，此时约定两个月后阿里巴巴的股票价格为执行价格（假设95美元），一年后到期。到期时，该期权持有者的收益为MAX(100-95，0),即赚取5元。因此，可以看出，棘轮期权是由一系列远期起点期权构成的。

因此，我们只要了解远期起点期权定价，就可以轻松地计算棘轮期权的权利金价格。首先，在T时刻远期起点期权相当于一个标准的欧式期权，利用风险中性定理，即（以看涨为例）：

其中，S*是T时刻标的资产的价格，S是t现在时刻标的资产的价格，T是未来执行价格被决定的时间，t是现在时刻，<Z:KT2016160926e004.tif>是从T时刻距离期权到期的时间M，q是分红收益率，r是无风险利率，σ是标的资产波动率。

由于=<Z:KT2016160926e002.tif>，因此带入可得：

计算现在时刻看涨远期起点期权的价格，需要折现，将未来T时刻的远期起点期权折现到t时刻，两边同乘以e-r（T-t）,因此得到远期起点期权t时刻定价公式：

基于棘轮期权由一系列远期起点期权构成，因此可以分批次求得远期起点期权的价格，并加总求得棘轮期权权利金。

需要注意的是，一般奇异期权的计算利用蒙特卡洛模拟较多，因为上述公式计算方法最大的前提是基于标的资产收益率服从完全无偏的正态分布假设下，但是现实世界总是会出现各种偏差，无法满足完全正态分布假设。对真实世界价格与理论值之间误差的分析与计算十分重要，而蒙特卡洛模拟可以尽量减少误差值。

棘轮期权结构灵活，感兴趣的投资者可以进一步了解棘轮有关产品，诸如棘轮期权和棘轮债券等。