套利机制的存在能使价格偏离逐渐恢复至均衡水平

引言

统计套利最早由Bondarenko（2003）提出，是一种基于量化模型的投资过程，将套利建立在对历史数据进行统计分析的基础之上，估计相关变量的概率分布，并结合基本面数据进行分析，旨在风险有限的情况下，得到最高收益的套利交易。相比于无风险套利，统计套利少量增加了一些风险，同时增加了取得收益的机会。

本文通过对沪深300股指期货和上证50股指期货的历史数据进行分析，发现两者都是非平稳时间序列数据。同时，利用协整检验，发现两者具有长期均衡的协整关系，在确定交易组合的长期稳定性关系后，提出相应的修正模型，并利用这一稳定性关系的系数作为比例构建投资组合。

统计套利的基本概念

统计套利是一种基于量化模型的投资过程，是在不依赖经济含义的情况下，运用数量手段构建资产组合，根据证券实际价格与数量模型所预测的理论价值进行对比，构建证券投资组合的多头和空头，从而对市场风险进行规避，获取稳定的Alpha值。

统计套利这一概念最早由Bondarenko（2003）提出，Hogan（2004）在其基础上利用统计套利的思想研究市场效率，利用更加精确的公式化的统计套利，在数学上精确了统计套利的范围，并被广泛应用。

设初始投入为零的自融资交易策略X(t):t0，在t时刻经无风险利率折现后的价值为v(t)，如果v(t)满足以下条件，则称该交易策略为一个统计套利机会。

表为统计套利条件公式

上述表明，统计套利需要满足的四个条件：一是自融资交易策略的初始投资为零；二是期望收益为正；三是时间越长，损失概率越趋于零；四是如果在任意时间内发生亏损的概率大于零，那么其收益的平均方差趋于零。

值得注意的是，第四个条件当且仅当损失概率大于零时成立，则表明统计套利是有风险的，即存在损失的可能。因此，统计套利在一段时间内并不是无风险套利，这也是普通套利和统计套利之间差别的体现。如果在某一时刻T，当t>T时，有P[v(t)<0 ]=0，则被视为普通标准套利。

有别于无风险套利，统计套利是利用证券价格的历史统计规律进行套利，是一种风险套利，其风险在于这种历史统计规律在未来一段时间内是否继续存在。由于期货价格在到期时必须收敛于现货价格，基差必然归零，所以期现套利可以看作是无风险套利。然而，由于指数标的股不同，相同月份、不同标的期货合约的价格并不一定收敛。因此，跨品种套利实际上是一种风险套利或者是统计套利。

统计套利在方法上可以分为两类：一类是利用价格序列的协整关系建模，称之为协整策略；另一类是利用收益率序列建模，目标是在组合的β值等于零的前提下实现Alpha收益，称之为β中性策略，该策略主要应用于融资融券的套利交易中。

股指期货联动性分析

传统的时间序列模型一般只能描述平稳时间序列的变化规律，而通过观察沪深300股指期货和上证50股指期货的历史数据可知，其历史数据是非平稳的。

对于非平稳数据，Engle and Granger(1987)提出协整理论及其方法来处理，因为虽然数据本身可能是非平稳的，但是两个数据的线性组合却可能是平稳序列。如果两个数据之间具有长期稳定的关系，就称之为协整，所以两个数据长期处于均值回复，不可能一直出现无限制偏离，这为两个标的之间进行套利提供了可能性。

通过观察沪深300股指期货和上证50股指期货每分钟走势，我们可以发现，两者价格走势均是非平稳的，其价格并不一定回归到均值，但是两者相互之间的走势趋同，具有一定的一致性和同步性。因此，可以利用协整检验寻找两者之间的关系。

协整性分析通常分为以下三个步骤：

一是对序列进行单位根检验。只有时间序列数据Xt和Yt在都是同阶单整时，即Xt～I(d)和Yt～I(d)，才可能存在协整关系。

二是对这两个同阶单整的序列进行协整检验，看这两个非平稳时间序列数字是否符合协整关系。

三是构建误差修正模型，研究误差范围与影响程度。

图为沪深300股指期货和上证50股指期货每分钟价格走势

图为沪深300股指期货和上证50股指期货每分钟收益率